S={1,2,3,4,5,6}.
a) A={1,3,5}، n(A)=3، P(A)=3/6=1/2=0.5.
b) B={2,4,6}، n(B)=3، P(B)=3/6=1/2=0.5.
c) C={1,2,3,4,5}، n(C)=5، P(C)=5/6≈0.83.
d) D={6}، n(D)=1، P(D)=1/6≈0.2.
e) E={} = ∅، n(E)=0، P(E)=0/6=0.
f) S={1,2,3,4,5,6}، n(S)=6، P(S)=6/6=1.

في البداية نقوم بتسجيل جميع الاحتمالات الممكنة (فضاء العينة S) التي تبلغ 36 زوجاً مرتباً. ثم نعرّف الحدث A بأنه ظهور عددين زوجيين: A={(2,2),(2,4),(2,6),(4,2),(4,4),(4,6),(6,2),(6,4),(6,6)}. وبناءً على ذلك: P(A)=n(A)/n(S)=9/36=1/4=0.75=75%.

نعرف الحوادث الآتية: الحادثة B وتعني إنتاج المصباح التالف. الحادثة A1 وتعني إنتاج الآلة الأولى للمصابيح. الحادثة A2 وتعني إنتاج الآلة الثانية للمصابيح. الحادثة A3 وتعني إنتاج الآلة الثالثة للمصابيح. ويكون حساب الاحتمال لكل حادثة كما يأتي: P(A1)=0.2، P(A2)=0.3، P(A3)=0.5، P(B|A1)=0.01، P(B|A2)=0.04، P(B|A3)=0.07.

P(B)=P(A1)P(B|A1)+P(A2)P(B|A2)+P(A3)P(B|A3)=0.2×0.01+0.3×0.04+0.5×0.07=0.049.

تهتم نظرية بيز بحساب احتمال وقوع حدث استناداً إلى معرفة الأسباب والظروف المؤدية لوقوعه، وحتى نضمن إجراء تحليل دقيق للأسباب المؤدية لوقوع الحدث فلا بد من التأكد من عدم تداخل تلك الظروف لئلا يؤدي ذلك إلى تداخل القيم عند تطبيق القانون؛ وبالتالي عدم التوصل لنتائج دقيقة، وبالنسبة لكون اتحادها يؤدي للمجموعة الشاملة، فإن ذلك يرجع إلى أن عدم تكوين المجموعة الشاملة سيعني بالضرورة وجود سبب محتمل لوقوع الحادث لم يؤخذ في الحسبان عند تطبيق القانون، وبالتالي عدم التوصل لنتائج دقيقة أيضاً.

احتمال أن يكون المصباح تالفاً هو P(B)=0.049. عليه فإن احتمال أن يكون المصباح غير تالف هو: P(Bᶜ)=1-P(B)=1-0.049=0.951.

نعرف الحوادث: B الإنتاج التالف، وA1 إنتاج الآلة الأولى، وA2 إنتاج الآلة الثانية، وA3 إنتاج الآلة الثالثة، وA4 إنتاج الآلة الرابعة. P(A1)=0.2، P(B|A1)=0.02؛ P(A2)=0.3، P(B|A2)=0.06؛ P(A3)=0.35، P(B|A3)=0.09؛ P(A4)=0.15، P(B|A4)=0.05. ثم: P(B)=0.2×0.02+0.3×0.06+0.35×0.09+0.15×0.05=0.061≈6.1%.

من حل المثال: P(B)=0.049، P(A1)P(B|A1)=0.002، P(A2)P(B|A2)=0.012. وتستكمل القيم في الصفحة التالية.

a) P(A1|B)=0.002/0.049≈0.04.
b) P(A2|B)=0.012/0.049≈0.245.
نستنتج أن الاحتمال الأكبر أن يكون المصباح التالف من إنتاج الآلة الثانية.

من حل المثال (2): P(B)=0.049 وP(A3)P(B|A3)=0.035. ومن ثم: 0.035/0.049=0.714≈71.4%. نجد بعد المقارنة أن النتيجة التي حصلنا عليها هنا تشكل الاحتمال الأكبر بين الاحتمالين السابقين في المثال (3).

يمكن اتخاذ قرار: إنتاج المصباح التالف سوف يكون من إنتاج الآلة الثالثة؛ لأنها هي الاحتمال الأكبر بين باقي الاحتمالات. كما نستطيع استنتاج أن إنتاج الآلة الأولى للمصابيح التالفة هو الأقل مقارنة بالآلتين الثانية والثالثة.

a) الشرط الأول متحقق، حيث إن جميع نتائج الاحتمالات أكبر من صفر. والشرط الثاني أيضاً متحقق، حيث إن مجموع نتائج كل الاحتمالات يساوي 1: 0.25+0.15+0.3+0.3=1. وبما أن الشرطين قد تحققا فيمكن القول بأن هذا التوزيع الاحتمالي هو توزيع احتمالي منفصل، ويمثل بالأعمدة.
b) يلاحظ أن P(X=3)، P(X=4) لا تقعان بين 0 و1؛ لذلك فإن هذا التوزيع ليس توزيعاً احتمالياً، حيث إنه لا يمكن أن تكون نتيجة احتمال سالبة أو أكبر من 1، رغم أن مجموع كل الاحتمالات يساوي 1.

للتحقق من أن هذا التوزيع الاحتمالي منفصل لابد من تحقق شرطين: أن تكون جميع الاحتمالات أكبر من الصفر، وأن يكون مجموع جميع الاحتمالات يساوي واحداً. الشرط الأول متحقق، أما مجموع الاحتمالات: 0.35+0.15+0.05=0.55<1، أي لا يساوي الواحد، فهذا يعني أن الشرط الثاني غير متحقق، وعليه فإنه ليس توزيعاً احتمالياً منفصلاً. ويلاحظ أنه يمكن تمثيل التوزيع بيانياً؛ لأن التمثيل البياني لا يعني أنه يجب أن يكون توزيعاً احتمالياً لتمثيله.

لا تخضع هذه التجربة لتوزيع ذي الحدين، والذي يفترض خضوع التجربة لفرصتين متضادتين. وبحساب الاحتمال الكلي: 76+21=97%≠100%، وهو ما يخالف الخاصية الثانية من خصائص توزيع ذي الحدين.

باستخدام دالة الكتلة الاحتمالية لتوزيع ذي الحدين: P(X=i)=(n choose x)p^x q^(n-x)، وX=0,1,2,…,n. وتستكمل الحسابات في الصفحة التالية.

X=عدد مرات ظهور الصورة، n=3، p=1/2، q=1/2. المتوسط الحسابي μ=np=3(1/2)=3/2. التباين σ²=npq=(3)(1/2)(1/2)=3/4. احتمال ظهور صورتين: P(X=2)=3/8.

المتغير العشوائي X=نسبة طلاب أحد المدارس الذين لا يملكون سيارات. p=0.4، q=0.6، n=8. P(X=x)=(8 choose x)(0.4)^x(0.6)^(8-x)، x=0,1,2,3,4,5,6,7,8. μ=np=8(0.4)=3.2. σ²=npq=(8)(0.4)(0.6)=1.92. P(X=4)≈0.232≈23.2%.

λ=3. a) P(X=0)=e^-3 3^0/0!=0.05. b) P(X=2)=e^-3 3^2/2!=0.225.

P(X=4)=e^-3 3^4/4!=0.05×81/24=4.05/24≈0.169≈16.9%.

a) P(Z<1.56)=0.9406، أي 94.06%.
b) P(Z>1.20)=1-0.8849=0.1151، أي 11.51%.
c) P(-0.8<Z<0.15)=P(Z<0.15)-P(Z<-0.8)=0.5596-0.2119=0.3477، أي 34.77%.

1) P(Z<1.17)=0.8790=87.90%.
2) P(Z>-0.5)=1-P(Z<-0.5)=1-0.3085=0.6915.

a) بالبحث عن 0.9850 في الجدول تكون Z=2.17.
b) P(Z<z)=1-0.6628=0.3372، وبالبحث في جدول القيم السالبة تكون Z=-0.42.

P(Z<z)=0.9357، وعليه فإن قيمة z=1.52.

a) P(62<X<78)=P(-1.25<Z<0.75)=0.7734-0.1056=0.6678. إذن نسبة الطلاب الذين تقع درجاتهم بين 62 و78 هي 66.78%.
b) P(X<60)=P(Z<-1.50)=1-0.9332=0.0668. إذن نسبة الطلاب الراسبين تقريباً 6.68%، وعددهم 0.0668×600=40.08≈40 طالباً.

P(X>90)=P(Z>2.25)=1-0.9878=0.0122. إذن النسبة تقريباً 1.22%، وعددهم 0.0122×600=7.32≈7 طلاب.

P(X>60)=P(Z>-1.50)=1-P(Z<-1.50)=1-0.0668=0.9332. إذن نسبة الطلاب الناجحين تقريباً 93.32%، وعددهم 0.9332×600=559.92≈560 طالباً.