في الفصل الأول من رياضيات ثاني متوسط ننتقل خطوة أبعد في التعامل مع الكسور والأعداد العشرية والأعداد السالبة، ونجمعها تحت مفهوم واحد هو الأعداد النسبية.
وقد يبدو الفصل طويلًا بسبب كثرة العمليات، لكن معظم دروسه مبنية على مهارات سبق للطالب أن عرفها. الجديد هنا هو التعامل معها بطريقة أكثر تنظيمًا، خصوصًا عند وجود إشارات سالبة أو مقامات مختلفة.
العدد النسبي هو عدد يمكن كتابته في صورة كسر a / b بحيث يكون a و b عددين صحيحين و b ≠ 0.
الأعداد النسبية
من أمثلة الأعداد النسبية:
قد تتساءل كيف يكون العدد 7 عددًا نسبيًا وهو ليس مكتوبًا على صورة كسر. الجواب أننا نستطيع كتابته هكذا:
كما أن كثيرًا من الأعداد العشرية أعداد نسبية. فالعدد 0.5 مثلًا يساوي:
تحويل كسر إلى عدد عشري
نقسم البسط على المقام.
وقد يكون الناتج عددًا عشريًا منتهيًا، أو عددًا عشريًا دوريًا تتكرر فيه مجموعة من الأرقام.
مقارنة الأعداد النسبية وترتيبها
عندما تكون الأعداد مكتوبة بصور مختلفة، يسهل غالبًا تحويلها إلى صورة واحدة قبل المقارنة.
نحوّل: 1/2 = 0.5
إذن: 0.6 > 0.5
أما عند التعامل مع الأعداد السالبة فتذكر خط الأعداد؛ العدد الواقع إلى اليمين هو الأكبر.
لأن -1/4 أقرب إلى الصفر.
ضرب الأعداد النسبية
عند ضرب كسرين نضرب البسطين معًا، ثم المقامين معًا، ونبسط الناتج إن أمكن.
ومع الأعداد السالبة نطبق قواعد الإشارات المعتادة:
سالب × سالب = موجب
موجب × سالب = سالب
قسمة الأعداد النسبية
في القسمة نحول العملية إلى ضرب في مقلوب العدد الثاني.
نقلب الكسر الثاني:
3/5 × 7/2 = 21/10
جمع وطرح الأعداد النسبية ذات المقامات المتشابهة
إذا كان المقام متساويًا، نجمع أو نطرح البسط فقط، ويبقى المقام كما هو.
ومع الإشارات السالبة نطبق قواعد جمع الأعداد الصحيحة على البسط.
جمع وطرح الأعداد النسبية ذات المقامات المختلفة
هنا لا يمكن جمع البسطين مباشرة. نحتاج أولًا إلى إيجاد مقام مشترك.
المضاعف المشترك الأصغر لـ 3 و4 هو 12.
1/3 = 4/12
1/4 = 3/12
إذن: 4/12 + 3/12 = 7/12
استراتيجية حل المسألة: البحث عن نمط
إذا لاحظت أن القيم في المسألة تتغير بطريقة منتظمة، فقد يساعدك اكتشاف النمط في الوصول إلى المطلوب.
كل حد يزيد بمقدار 1/2.
إذن الحد التالي: 5/2.
لا تفترض النمط من حد واحد أو اثنين فقط. تحقق من أن القاعدة تنطبق على جميع القيم المعطاة.
القوى والأسس
القوة طريقة مختصرة لكتابة الضرب المتكرر.
العدد 2 يسمى الأساس، والعدد 4 هو الأس.
وعند وجود عدد سالب يجب الانتباه إلى الأقواس:
لأن:
الصيغة العلمية
تستخدم الصيغة العلمية لكتابة الأعداد الكبيرة جدًا أو الصغيرة جدًا بصورة مختصرة.
a × 10n
بحيث: 1 ≤ a < 10
حرّكنا الفاصلة ست خانات إلى اليسار، لذلك الأس يساوي 6.
عند الأعداد الأصغر من 1 يكون الأس سالبًا.
أخطاء شائعة في الفصل الأول
جمع المقامات عند جمع الكسور
يجب توحيد المقام أولًا، ولا نجمع المقامات.
نسيان قلب المقسوم عليه
في قسمة الكسور نحول القسمة إلى ضرب في مقلوب الكسر الثاني.
إهمال الإشارة السالبة
ضع الأقواس حول الأعداد السالبة أثناء الحل، خصوصًا في الضرب والقوى.
كتابة صيغة علمية بمعامل أكبر من 10
العدد أمام قوة العشرة يجب أن يكون أكبر من أو يساوي 1 وأقل من 10.
مراجعة الفصل الأول: اختبر نفسك
1- حوّل 3/5 إلى عدد عشري
3 ÷ 5 = 0.6
2- أوجد: 2/7 + 3/7
5/7
3- أوجد: 1/2 + 1/3
المقام المشترك 6: 3/6 + 2/6 = 5/6.
4- أوجد: 3/4 ÷ 2/5
3/4 × 5/2 = 15/8
5- اكتب 6,200,000 بالصيغة العلمية
6.2 × 106
كيف تذاكر الأعداد النسبية؟
لا تحاول حفظ جميع القواعد دفعة واحدة. افصل بين مهارات الضرب والقسمة والجمع والطرح، ثم حل مسائل تجمع أكثر من مهارة بعد أن تتقن كل واحدة منها.
وأفضل طريقة لاكتشاف خطأ الإشارة هي كتابة كل خطوة بوضوح بدل تنفيذ العمليات كاملة في الذهن.
إقرأ أيضا : كتاب الرياضيات ثاني متوسط ف1