يبدأ الفصل الثاني بفكرة تبدو جديدة للطالب وهي الجذور التربيعية، ثم يستخدمها لاحقًا في أحد أشهر القوانين الهندسية: نظرية فيثاغورس.
العلاقة بين الدروس مهمة؛ فإذا فهمت المربعات الكاملة والجذور والتقدير، ستجد التعامل مع أطوال أضلاع المثلث القائم والمسافة بين نقطتين أسهل بكثير.
محتويات الفصل الثاني
الجذور التربيعية
إذا كان:
فإن الجذر التربيعي الرئيسي للعدد 49 هو 7:
ومن المفيد معرفة بعض المربعات الكاملة:
| العدد | مربعه |
|---|---|
| 1 | 1 |
| 2 | 4 |
| 3 | 9 |
| 4 | 16 |
| 5 | 25 |
| 6 | 36 |
| 7 | 49 |
| 8 | 64 |
| 9 | 81 |
| 10 | 100 |
تقدير الجذور التربيعية
ليست كل الأعداد مربعات كاملة. فإذا أردنا تقدير √30 نبحث عن أقرب مربعين كاملين.
إذن:
5 < √30 < 6
وبما أن 30 أقرب إلى 25 من 36، فإن الجذر أقرب إلى 5 منه إلى 6.
استراتيجية حل المسألة: استعمال أشكال فن
شكل فن وسيلة لتنظيم المعلومات عندما توجد مجموعتان أو أكثر، خصوصًا إذا كان بينهما عناصر مشتركة.
قبل كتابة الأعداد، حدد معنى كل جزء من الشكل: المجموعة الأولى، الثانية، التقاطع، وما يقع خارج المجموعتين.
الأعداد الحقيقية
تنقسم الأعداد الحقيقية في هذا المستوى إلى أعداد نسبية وأعداد غير نسبية.
العدد غير النسبي: لا يمكن كتابته بهذه الصورة، وتمثيله العشري غير منتهٍ وغير دوري.
√2 عدد غير نسبي.
أما:
فهو عدد نسبي؛ لذلك لا يعني وجود رمز الجذر أن العدد غير نسبي دائمًا.
نظرية فيثاغورس
تستخدم نظرية فيثاغورس في المثلث القائم الزاوية. إذا كان ضلعا القائمة هما a و b والوتر هو c:
الوتر هو الضلع المقابل للزاوية القائمة، وهو أطول أضلاع المثلث.
6² + 8² = c²
36 + 64 = c²
100 = c²
c = 10
تطبيقات على نظرية فيثاغورس
قد تظهر النظرية في سؤال عن سلم مسنود على جدار، أو قطر مستطيل، أو مسافة مستقيمة بين موقعين.
c² = 12² + 5²
c² = 144 + 25 = 169
c = 13
إذن طول القطر 13 مترًا.
تمثيل الأعداد غير النسبية على خط الأعداد
يمكن تحديد مكان عدد مثل √5 تقريبًا بين عددين صحيحين.
إذن: 2 < √5 < 3
وبذلك نعرف المنطقة التي يقع فيها العدد على خط الأعداد حتى لو لم يكن له تمثيل عشري منتهٍ.
هندسة: الأبعاد في المستوى الإحداثي
إذا كان لدينا نقطتان في المستوى الإحداثي، يمكن أحيانًا إيجاد المسافة بينهما بسهولة إذا كانتا على خط أفقي أو رأسي.
7 – 2 = 5 وحدات.
أما إذا اختلف الإحداثيان معًا، فيمكن تكوين مثلث قائم واستعمال نظرية فيثاغورس.
الفرق الأفقي = 3
الفرق الرأسي = 4
d² = 3² + 4² = 25
d = 5
أخطاء شائعة في الفصل الثاني
اعتبار كل جذر عددًا غير نسبي
بعض الجذور تعطي أعدادًا صحيحة، مثل √64 = 8.
اختيار الضلع الخطأ باعتباره الوتر
الوتر دائمًا يقابل الزاوية القائمة.
جمع الأطوال بدل تربيعها
نظرية فيثاغورس تستخدم مربعات الأطوال: a² + b² = c².
مراجعة الفصل الثاني: اختبر نفسك
1- أوجد √81
9
2- بين أي عددين يقع √50؟
لأن: 49 < 50 < 64 فإن: 7 < √50 < 8.
3- هل √16 عدد نسبي أم غير نسبي؟
نسبي؛ لأن √16 = 4.
4- مثلث قائم ضلعاه القائمان 9 و12، أوجد الوتر
9² + 12² = 81 + 144 = 225 ومنها الوتر = 15.
كيف تذاكر هذا الفصل؟
ابدأ بحفظ المربعات الكاملة الصغيرة وفهم معناها، ثم تدرب على تقدير الجذور. بعد ذلك انتقل إلى فيثاغورس؛ لأن معرفة الجذور ستجعل خطوات الحل أقصر وأسهل.