الفصل الثالث يجمع بين الجبر والهندسة بطريقة واضحة. في بدايته ندرس العلاقات المتناسبة ومعدل التغير، ثم نستخدم التناسب في الأشكال المتشابهة والتكبير والتصغير والقياس غير المباشر.
العلاقات المتناسبة وغير المتناسبة
تكون العلاقة متناسبة عندما تبقى النسبة بين الكميتين ثابتة.
2 كجم = 10 ريالات
4 كجم = 20 ريالًا
6 كجم = 30 ريالًا
في كل مرة:
إذن معدل الوحدة ثابت، والعلاقة متناسبة.
أما إذا تغير المعدل من صف إلى آخر، فالعلاقة ليست متناسبة.
معدل التغير
معدل التغير يقيس مقدار تغير كمية بالنسبة إلى تغير كمية أخرى.
التغير في الكمية = 6 لترات
التغير في الزمن = 3 دقائق
معدل التغير: 6 ÷ 3 = 2 لتر لكل دقيقة.
المعدل الثابت للتغير
إذا كان معدل التغير متساويًا بين جميع القيم، نقول إن العلاقة لها معدل تغير ثابت.
| الزمن | المسافة |
|---|---|
| 1 ساعة | 70 كم |
| 2 ساعة | 140 كم |
| 3 ساعات | 210 كم |
في كل ساعة تزداد المسافة 70 كم، إذن معدل التغير ثابت ويساوي 70 كم/ساعة.
حل التناسب
التناسب معادلة تبين أن نسبتين متساويتان.
باستخدام الضرب التبادلي:
4س = 60
س = 15
استراتيجية حل المسألة: الرسم
في مسائل الأطوال والأشكال قد يوفر الرسم وقتًا كبيرًا. ارسم شكلًا تقريبيًا، ثم دوّن عليه الأطوال المعروفة والمجهولة.
العرض = س
الطول = 3س
لا يشترط أن يكون الرسم بمقياس دقيق؛ وظيفته تنظيم المعلومات.
تشابه المضلعات
المضلعان المتشابهان لهما الشكل نفسه، لكن قد يختلف حجمهما. وتكون الزوايا المتناظرة متطابقة، وأطوال الأضلاع المتناظرة متناسبة.
8 ÷ 4 = 2
أي أن أطوال الشكل الثاني تساوي ضعف الأطوال المناظرة في الشكل الأول.
التكبير والتصغير
معامل المقياس يحدد مقدار تغير حجم الشكل.
إذا كان بين 0 و1: تصغير.
6 × 1.5 = 9 سم.
20 × 1/4 = 5 سم.
القياس غير المباشر
أحيانًا يكون قياس ارتفاع جسم مباشرة صعبًا؛ مثل شجرة أو مبنى. هنا نستفيد من التشابه والنسب للوصول إلى القياس المطلوب.
1.5 / 2 = س / 8
2س = 12
س = 6
إذن ارتفاع الشجرة 6 أمتار.
أخطاء شائعة في التناسب والتشابه
مقارنة كميات غير متناظرة
حافظ على الترتيب نفسه عند كتابة النسب.
اعتبار أي جدول علاقة متناسبة
تحقق من ثبات النسبة أو معدل الوحدة أولًا.
الخلط بين التشابه والتطابق
الأشكال المتشابهة لها الشكل نفسه، لكن ليس شرطًا أن تكون بالحجم نفسه.
استخدام معامل التكبير بالعكس
حدد بوضوح: من أي شكل إلى أي شكل تحسب معامل المقياس؟
مراجعة الفصل الثالث: اختبر نفسك
1- إذا كانت 3 دفاتر بـ12 ريالًا، فما ثمن 5 دفاتر بالمعدل نفسه؟
ثمن الواحد = 4 ريالات، إذن 5 دفاتر = 20 ريالًا.
2- حل 2/5 = س/15
5س = 30 ومنها س = 6.
3- شكل معامل تكبيره 3، وضلع أصله 4 سم. ما طول الضلع الجديد؟
4 × 3 = 12 سم.
خلاصة الفصل الثالث
إذا فهمت معنى معدل الوحدة وثبات النسبة، فقد فهمت أساس الجزء الجبري من الفصل. أما الجزء الهندسي، فالفكرة الأساسية هي مقارنة الأضلاع المتناظرة باستخدام النسبة نفسها.