يُعد شرح درس الأعداد النسبية ثاني متوسط البوابة الأساسية لفهم منهج الرياضيات في الفصل الدراسي الأول؛ حيث يعتمد عليه العديد من الدروس اللاحقة مثل مقارنة الأعداد النسبية وجمعها وطرحها. في هذا الدليل المبسط، سنشرح لك فكرة الدرس خطوة بخطوة، وكيف تفرق بسهولة بين الكسور العشرية المنتهية والدورية، بالإضافة إلى حل مسائل “تحقق من فهمك” و”تأكد” بطرق ذكية وسريعة دون تعقيد.
ما هو العدد النسبي؟ وما هي أقسامه؟
العدد النسبي هو أي عدد يمكن كتابته على صورة كسر اعتيادي (بسط ومقام أ / ب)، بشرط أن تكون (أ) و (ب) أعداداً صحيحة، والمقام (ب) لا يساوي صفراً.
عند تحويل الكسر الاعتيادي إلى صورة كسر عشري (يحتوي على فاصلة عشرية) باستخدام القسمة المطولة، ينقسم الناتج إلى قسمين رئيسيين:
| نوع الكسر العشري | التعريف والقاعدة | مثال توضيحي |
|---|---|---|
| 1. الكسر العشري المنتهي | هو الكسر الذي تنتهي فيه عملية القسمة المطولة ويكون الباقي صفراً. | 1.58 , 0.75 |
| 2. الكسر العشري الدوري | هو الكسر الذي لا تنتهي فيه عملية القسمة، بل يتكرر فيه رقم أو أكثر إلى ما لا نهاية، ونضع خطاً أفقياً صغيراً فوق الرقم المتكرر فقط لاختصاره. | 2.333… = 2.3 |
الفكرة الأولى: كتابة الكسر الاعتيادي على صورة كسر عشري
لتحويل أي كسر اعتيادي أو عدد كسري إلى كسر عشري، نتبع القاعدة الذهبية: “نقسم البسط (داخل صندوق القسمة المطولة) على المقام (خارج الصندوق)”.
خطوات الحل السريعة:
- إذا كان البسط أصغر من المقام، نضع صفراً بجانب البسط، ونرفع فوراً صفراً وفاصلة عشرية (0.) في الأعلى (تُوضع الفاصلة مرة واحدة فقط طوال المسألة).
- إذا كان لدينا عدد كسري (عدد صحيح وبجانبه كسر)، نقوم بتحويله إلى كسر غير فعلي (نضرب العدد الصحيح في المقام ثم نجمع عليه البسط)، أو نترك العدد الصحيح جانباً في الناتج ونقسم الكسر فقط.
- إذا وُجدت إشارة سالب (-)، نتركها جانباً حتى ننهي القسمة ثم نضعها في الناتج النهائي حتى لا ننساها.
أولاً: أمثلة محلولة على الكسور العشرية المنتهية
- مثال (1): اكتب الكسر (3 / 4) على صورة كسر عشري:
– نقسم 3 (بالداخل) على 4 (بالخارج).
– الـ 3 أصغر من 4؛ نضع لها صفراً فتصبح 30، ونرفع (0.) في الأعلى.
– أقرب عدد نضربه في 4 ليعطينا 30 هو 7 (لأن 7 × 4 = 28). نطرح فيتبقى 2.
– نضيف صفراً للـ 2 فتصبح 20. نقسم 20 ÷ 4 = 5 (لأن 5 × 4 = 20)، والباقي صفر.
– الناتج: 0.75 (كسر عشري منتهي). - مثال (2): اكتب الكسر (-3 / 5) على صورة كسر عشري:
– نقسم 3 على 5، نضيف صفراً للثلاثة فتصبح 30 ونرفع الفاصلة (0.).
– 30 ÷ 5 = 6 والباقي صفر. لا ننسى إرجاع إشارة السالب.
– الناتج: -0.6 (كسر عشري منتهي). - مثال (3): اكتب العدد الكسري (4 و 13/25) على صورة كسر عشري:
– نحوله أولاً بالضرب ثم الجمع: (4 × 25) + 13 = 113، فيصبح الكسر (113 / 25).
– عند القسمة المطولة لـ 113 ÷ 25، نحصل على 4 صحيح (4 × 25 = 100)، والباقي 13.
– نرفع الفاصلة ونكمل القسمة: 130 ÷ 25 = 5 (125) والباقي 5، ثم 50 ÷ 25 = 2 والباقي صفر.
– الناتج: 4.52 (كسر عشري منتهي).
ثانياً: حل تدريبات “تحقق من فهمك” (الكسور الدورية والمنتهية)
إليك حل فقرات تحقق من فهمك كما وردت في الدرس خطوة بخطوة:
- تحويل الكسر (7 / 12) إلى كسر عشري:
– نقسم 7 ÷ 12، نضيف صفراً ونرفع الفاصلة: 70 ÷ 12 = 5 (لأن 5 × 12 = 60) والباقي 10.
– نضيف صفراً للـ 10 فتصبح 100: 100 ÷ 12 = 8 (لأن 8 × 12 = 96) والباقي 4.
– نضيف صفراً للـ 4 فتصبح 40: 40 ÷ 12 = 3 (لأن 3 × 12 = 36) والباقي 4.
– نلاحظ أن الباقي 4 سيتكرر دائماً وبالتالي يتكرر الرقم 3 فقط.
– الناتج: 0.583 (نضع الخط فوق الـ 3 فقط لأنها هي التي تتكرر). - تحويل الكسر (-2 / 9) إلى كسر عشري:
– بقسمة 20 ÷ 9 نحصل على 2 (2 × 9 = 18) والباقي 2، وتتكرر الـ 2 في كل مرة.
– الناتج: -0.2 (كسر عشري دوري، ولا ننسى إشارة السالب). - تحويل العدد الكسري (3 و 1/11) إلى كسر عشري:
– نحوله إلى كسر: (3 × 11) + 1 = 34 / 11.
– نقسم 34 ÷ 11 = 3 والباقي 1. نضع صفراً للواحد فيصبح 10 ونرفع الفاصلة.
– ملاحظة مهمة: الـ 10 ما زالت أصغر من 11! لذلك نضيف صفراً ثانياً لتصبح 100، ومقابل إضافة صفرين متتاليين نرفع صفراً (0) في الناتج بعد الفاصلة.
– 100 ÷ 11 = 9 (99) والباقي 1، ويتكرر معنا الرقمان 09 في كل مرة.
– الناتج: 3.09 (الخط فوق الصفر والتسعة معاً). - تحويل العدد الكسري (-2 و 14/15) إلى كسر عشري:
– نحوله إلى كسر: (2 × 15) + 14 = -44 / 15.
– بعد إجراء القسمة المطولة، نجد أن الناتج يبدأ بـ 2.9 ثم يتكرر الرقم 3 بلا توقف.
– الناتج: -2.93.
الفكرة الثانية: كتابة الكسر العشري على صورة كسر اعتيادي (أو عدد كسري)
في هذا الجزء من الدرس نقوم بالعكس تماماً؛ يعطينا كسراً عشرياً بالفاصلة ويطلب تحويله إلى بسط ومقام في أبسط صورة. وهنا نفرق بين حالتين بقاعدة سريعة جداً:
1. إذا كان الكسر العشري “منتهياً” (بدون خط)
- منزلة واحدة بعد الفاصلة ← المقام 10.
- منزلتان بعد الفاصلة ← المقام 100.
- ثلاث منازل بعد الفاصلة ← المقام 1000.
- نكتب الرقم في البسط كما هو، ثم نبسط الكسر.
2. إذا كان الكسر العشري “دورياً” (عليه خط)
- ننقص واحد (-1) من المقام فوراً بسبب الخط الدوري:
- منزلة واحدة متكررة: 10 – 1 = المقام 9.
- منزلتان متكررتان: 100 – 1 = المقام 99.
- نكتب الرقم في البسط ونبسط الكسر إن أمكن.
حل تدريبات فقرة “تأكد” شاملة (جدول المراجعة السريعة)
أولاً: حول الكسور والأعداد الكسرية التالية إلى كسور عشرية:
| المسألة | طريقة الحل باختصار | الناتج النهائي | نوع الكسر |
|---|---|---|---|
| 1) 4 / 5 | نقسم 40 ÷ 5 = 8 والباقي صفر. | 0.8 | منتهي |
| 2) 9 / 16 | قسمة مطولة متتالية حتى ينتهي الباقي بصفر. | 0.5625 | منتهي |
| 3) -1 و 29/40 | نحوله إلى -69/40 ونقسم قسمة مطولة مع الاحتفاظ بالسالب. | -1.725 | منتهي |
| 4) 5 / 9 | نقسم 50 ÷ 9 = 5 (45) ويتبقى 5 تتكرر باستمرار. | 0.5 | دوري |
| 5) 4 و 5/6 | نحوله إلى 29/6، وعند القسمة يثبت الرقم 8 وتتكرر الـ 3. | 4.83 | دوري |
| 6) -7 و 5/33 | نحوله إلى -236/33، وعند القسمة يتكرر الرقمان 15 معاً. | -7.15 | دوري |
ثانياً: اكتب كل كسر عشري على صورة كسر اعتيادي في أبسط صورة:
| المسألة | خطوات التحويل والتبسيط | الناتج في أبسط صورة |
|---|---|---|
| 7) 0.6 | منزلة واحدة بعد الفاصلة (6/10)، نقسم البسط والمقام على 2 للتبسيط. | 3 / 5 |
| 8) 0.32 | منزلتان وعليها خط دوري ← ننقص 1 من المقام (100 – 1 = 99). | 32 / 99 |
| 9) -1.55 | عدد غير دوري منزلتان (-1 و 55/100)، نبسط بالقسمة على 5 للبسط والمقام. | -1 و 11/20 |
| 10) -0.5 | منزلة واحدة غير دورية (-5/10)، نبسط بالقسمة على 5. | -1 / 2 |
| 11) -3.8 | العدد الصحيح -3 ينزل، ومنزلة واحدة دورية (10 – 1 = 9). | -3 و 8/9 |
| 12) 2.15 | العدد الصحيح 2 ينزل، ومنزلتان غير دورية (2 و 15/100)، نبسط بالقسمة على 5. | 2 و 3/20 |
أسئلة شائعة حول درس الأعداد النسبية
كيف أعرف بسرعة أن الكسر الاعتيادي سيتحول إلى كسر عشري دوري دون قسمة مطولة؟
إذا كان المقام (بعد تبسيط الكسر) هو 9 أو 99 أو 3 أو 6 أو 11، فإنه غالباً يتحول إلى كسر عشري دوري. مثلاً أي رقم مقسوم على 9 يعطي نفس الرقم مكرراً دورياً (مثل 5/9 = 0.5 و 2/9 = 0.2).
متى أنقص واحد (1) من المقام عند التحويل إلى كسر اعتيادي؟
تنقص واحد من المقام (10 تصبح 9، و 100 تصبح 99) فقط عندما تشاهد الخط الأفقي الصغير فوق الأرقام العشرية (الكسر العشري الدوري). أما إذا لم يوجد خط، فيبقى المقام 10 أو 100 كما هو.
إقرأ أيضاً : حل الفصل الأول الجبر الأعداد النسبية ثاني متوسط ف1
معلومات المادة
- نوع المادة
- شرح
- الصيغ المرتبطة