في الفصل الثاني من رياضيات أول متوسط يبدأ الطالب بالتعامل مع أعداد أقل من الصفر، وهنا تتغير بعض القواعد التي اعتاد عليها في المرحلة الابتدائية.
الأعداد الصحيحة ليست فكرة بعيدة عن حياتنا. درجة حرارة تحت الصفر، أو انخفاض رصيد، أو موقع أسفل مستوى معين، كلها مواقف يمكن تمثيلها بأعداد سالبة.
الأعداد الصحيحة تشمل الأعداد الموجبة، والصفر، والأعداد السالبة:
… -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3 …
الأعداد الصحيحة والقيمة المطلقة
العدد الصحيح قد يكون موجبًا أو سالبًا أو صفرًا.
مثلًا يمكن التعبير عن ارتفاع 200 متر فوق مستوى البحر بالعدد +200، بينما موقع 20 مترًا أسفل مستوى البحر يمكن تمثيله بالعدد -20.
ما القيمة المطلقة؟
القيمة المطلقة للعدد هي بعده عن الصفر على خط الأعداد، ولذلك تكون غير سالبة.
وكذلك:
|7| = 7
العددان 7 و-7 يبعد كل منهما سبع وحدات عن الصفر.
مقارنة الأعداد الصحيحة وترتيبها
على خط الأعداد، العدد الموجود إلى اليمين أكبر من العدد الموجود إلى اليسار.
وعند مقارنة عددين سالبين قد يخطئ بعض الطلاب. مثلًا:
لأن -4 يقع إلى يمين -9 على خط الأعداد.
لذلك: -1 > -5.
المستوى الإحداثي
يتكون المستوى الإحداثي من محور أفقي ومحور رأسي يتقاطعان عند نقطة الأصل.
تكتب النقطة بصورة زوج مرتب:
نقرأ الإحداثي الأفقي أولًا ثم الرأسي.
أما النقطة:
فننتقل ثلاث وحدات إلى اليسار ثم وحدتين إلى أعلى.
جمع الأعداد الصحيحة
إذا كانت الإشارتان متشابهتين
نجمع القيم ونحتفظ بالإشارة.
إذا كانت الإشارتان مختلفتين
نوجد الفرق بين القيمتين، ثم نأخذ إشارة العدد ذي القيمة المطلقة الأكبر.
في المثال الثاني، 9 أكبر من 4 من حيث القيمة المطلقة، وإشارة 9 سالبة، لذلك الناتج سالب.
طرح الأعداد الصحيحة
من أكثر الطرق وضوحًا في طرح الأعداد الصحيحة أن نحول الطرح إلى جمع المعكوس.
مثلًا:
نكتبها:
7 + (-10)
إذن:
-3
ماذا لو طرحنا عددًا سالبًا؟
نعكس العدد الثاني:
5 + 2 = 7
ضرب الأعداد الصحيحة
في الضرب نهتم أولًا بإشارة الناتج.
| الإشارتان | إشارة الناتج |
|---|---|
| موجب × موجب | موجب |
| سالب × سالب | موجب |
| موجب × سالب | سالب |
| سالب × موجب | سالب |
الإشارتان المتشابهتان تعطينا موجبًا، والمختلفتان تعطينا سالبًا.
استراتيجية حل المسألة: البحث عن نمط
أحيانًا تعرض المسألة سلسلة من الأعداد أو الأشكال، والمطلوب اكتشاف العلاقة بينها.
2, 5, 8, 11, …
نلاحظ أن كل عدد يزيد عن السابق بمقدار 3.
إذن العدد التالي هو: 14.
عند البحث عن نمط جرّب أن تسأل: هل هناك جمع ثابت؟ طرح؟ ضرب؟ أو تكرار معين؟
قسمة الأعداد الصحيحة
قواعد الإشارات في القسمة هي نفسها في الضرب.
لكن انتبه إلى نقطة مهمة:
أخطاء شائعة في الأعداد الصحيحة
اعتبار -8 أكبر من -3 لأن 8 أكبر من 3
الصحيح: -3 > -8 لأن -3 أقرب إلى الصفر ويقع إلى اليمين على خط الأعداد.
نسيان تغيير الطرح إلى جمع المعكوس
خصوصًا في مسائل مثل: 4 – (-6).
استخدام قاعدة الإشارات الخاصة بالضرب في الجمع
قواعد «سالب في سالب موجب» تخص الضرب والقسمة، وليست قاعدة لجمع الأعداد الصحيحة.
عكس ترتيب الإحداثيين
في الزوج المرتب نقرأ الإحداثي الأفقي أولًا ثم الرأسي.
مراجعة الفصل الثاني: اختبر نفسك
1- ما القيمة المطلقة للعدد -12؟
|-12| = 12.
2- أيهما أكبر: -4 أم -9؟
-4 > -9.
3- أوجد: -6 + 10
الإشارتان مختلفتان، فنطرح: 10 – 6 = 4. والنتيجة موجبة.
4- أوجد: 7 – 12
7 + (-12) = -5.
5- أوجد: (-5) × (-7)
الإشارتان متشابهتان، إذن الناتج موجب: 35.
6- أوجد: (-36) ÷ 9
الإشارتان مختلفتان: -4.
كيف تذاكر الفصل الثاني بطريقة أسهل؟
إذا كنت تخطئ كثيرًا في الإشارات، لا تحاول حفظ عشرات الأمثلة. ارسم خط أعداد بسيطًا في مسائل المقارنة والجمع، واكتب إشارة كل عدد بوضوح في الضرب والقسمة.
ومع التدريب ستصبح الإشارات مألوفة ولن تحتاج في كل سؤال إلى الرجوع إلى القاعدة.
أسئلة شائعة عن الأعداد الصحيحة أول متوسط
هل الصفر عدد موجب أم سالب؟
الصفر ليس موجبًا ولا سالبًا، لكنه من الأعداد الصحيحة.
لماذا القيمة المطلقة للعدد السالب موجبة؟
لأن القيمة المطلقة تمثل المسافة عن الصفر، والمسافة لا تكون سالبة.
كيف أتذكر إشارة ناتج الضرب والقسمة؟
إذا كانت الإشارتان متشابهتين فالناتج موجب، وإذا اختلفتا فالناتج سالب.