الفصل الخامس مختلف قليلًا عن الفصول السابقة؛ فبدل التركيز على العمليات العددية، يبدأ الطالب في تحليل الأشكال والزوايا والعلاقات الهندسية، ثم يتعامل مع التحويلات مثل الانعكاس والانسحاب والدوران.
وهنا لا يكفي حفظ القانون وحده. الرسم الجيد ووضع العلامات على الشكل يساعدان كثيرًا في معرفة العلاقة المطلوبة.
علاقات الزوايا والمستقيمات
يمكن أن يكون مستقيمان متوازيين أو متقاطعين، وإذا تقاطعا بزاوية قائمة فهما متعامدان.
المستقيمان المتعامدان يتقاطعان بزاوية مقدارها 90°.
الزوايا المتتامة والمتكاملة
زاويتان متتامتان إذا كان مجموعهما 90°، ومتكاملتان إذا كان مجموعهما 180°.
90 – 35 = 55°
180 – 125 = 55°
الزوايا المتقابلة بالرأس
عندما يتقاطع مستقيمان تتكون زوايا متقابلة بالرأس، والزوايا المتقابلة بالرأس متساوية في القياس.
توسع: المثلثات
يمكن تصنيف المثلثات بحسب أضلاعها أو زواياها.
| التصنيف | الوصف |
|---|---|
| متساوي الأضلاع | أضلاعه الثلاثة متساوية |
| متساوي الساقين | له ضلعان متساويان |
| مختلف الأضلاع | أضلاعه مختلفة |
| قائم الزاوية | له زاوية قائمة |
| حاد الزوايا | زواياه كلها حادة |
| منفرج الزاوية | له زاوية منفرجة |
الزاوية الثالثة: 180 – 50 – 60 = 70°
استراتيجية حل المسألة: التبرير المنطقي
التبرير المنطقي يعني استخدام معلومات صحيحة للوصول إلى نتيجة يمكن الدفاع عنها، لا مجرد تخمين الإجابة.
في أسئلة التبرير اهتم بسبب الإجابة، وليس الناتج وحده.
المضلعات والزوايا
المضلع شكل مغلق مكوّن من قطع مستقيمة. ومن أمثلته المثلث والرباعي والخماسي والسداسي.
يمكن إيجاد مجموع الزوايا الداخلية لمضلع عدد أضلاعه n بالعلاقة:
(5 – 2) × 180 = 540°
المضلع المنتظم
إذا كان المضلع منتظمًا، فإن زواياه متساوية، ولذلك يمكن إيجاد قياس الزاوية الواحدة بقسمة مجموع الزوايا على عددها.
540 ÷ 5 = 108°
تطابق المضلعات
شكلان متطابقان إذا كان لهما الشكل والحجم نفسيهما. وتكون الأضلاع والزوايا المتناظرة متساوية.
التماثل
يكون للشكل تماثل انعكاسي إذا أمكن طيه حول خط بحيث ينطبق نصفاه. ويسمى هذا الخط محور التماثل.
المربع مثلًا له أكثر من محور تماثل، بينما توجد أشكال لا تمتلك أي محور تماثل.
الانعكاس
الانعكاس يشبه صورة الجسم في المرآة. تتغير جهة الشكل، لكن حجمه وأطوال أضلاعه لا تتغير.
انعكاس حول المحور الصادي
بعد الانعكاس حول المحور الصادي تصبح: (-3,2)
انعكاس حول المحور السيني
الانسحاب
الانسحاب يعني تحريك الشكل مسافة محددة وفي اتجاه محدد من غير تدويره أو قلبه.
(2+3 , 3+2) = (5,5)
كل نقاط الشكل تتحرك بالمقدار نفسه.
الدوران
الدوران يعني تدوير الشكل حول نقطة ثابتة تسمى مركز الدوران. ويحدد الدوران عادة بزاوية واتجاه.
(2,3) إلى: (-2,-3)
الدوران، مثل الانعكاس والانسحاب، يحافظ على شكل الجسم وحجمه.
ما الفرق بين الانعكاس والانسحاب والدوران؟
| التحويل | الفكرة |
|---|---|
| الانعكاس | قلب الشكل مثل المرآة |
| الانسحاب | تحريك الشكل دون قلب أو تدوير |
| الدوران | تدوير الشكل حول نقطة |
أخطاء شائعة في الفصل الخامس
الخلط بين الزوايا المتتامة والمتكاملة
المتتامة مجموعها 90°، والمتكاملة مجموعها 180°.
نسيان طرح 2 في قانون مجموع زوايا المضلع
القانون هو: (n – 2) × 180.
الخلط بين التشابه والتطابق
في التطابق يجب أن يكون الشكل والحجم متساويين.
تحريك نقطة واحدة فقط في الانسحاب
جميع رؤوس الشكل تتحرك بالاتجاه والمقدار نفسيهما.
مراجعة الفصل الخامس: اختبر نفسك
1- ما متممة زاوية قياسها 28°؟
90 – 28 = 62°
2- ما مكملة زاوية قياسها 135°؟
180 – 135 = 45°
3- أوجد مجموع زوايا سداسي
(6 – 2) × 180 = 720°
4- ما صورة النقطة (4,-2) بالانعكاس حول المحور الصادي؟
(-4,-2)
5- انقلت النقطة (1,2) وحدتين يمينًا وثلاث وحدات أعلى. أين تصبح؟
(3,5)
كيف تذاكر فصل الهندسة والاستدلال؟
ارسم الأشكال بيدك ولا تعتمد على قراءة التعريف فقط. وفي مسائل الزوايا اكتب القياسات على الرسم مباشرة، أما التحويلات الهندسية فمن الأفضل رسم النقطة الأصلية وصورتها على المستوى الإحداثي حتى ترى الحركة بعينك.